9.5. Движение электрона в периодическом поле кристалла под действием внешнего поля. Эффективная масса электрона

Вследствие того что в кристалле на электрон действует периодическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в корне отличающие его от классической частицы [60, 82].

Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле E, тогда сила, действующая на электрон, . Скорость движения электрона равна групповой скорости распространения волн

,

(9.33)

т. к. .

За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению электрона

.

(9.34)

Отсюда

.

(9.35)

Продифференцируем выражение (9.33) для групповой скорости  по времени и определим ускорение электрона:

.

(9.36)

Подставим сюда из формулы (9.35) , тогда

.

(9.37)

Эта формула выражает второй закон Ньютона. Под действием внешней силы F, возникающей при наложении поля, электрон движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон некоторой массы , определяемой соотношением

.

(9.38)

Значение массы  носит название эффективной массы электрона в решетке.

Для свободного электрона, энергия которого определяется как, эффективная масса  принимает значение массы покоя электрона m.

Эффективная масса не является массой в ее обычном понимании. Она не определяет ни гравитационных, ни инерционных свойств электрона. По величине она может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной.

Рассмотрим следующий пример. Пусть в первой зоне Бриллюэна находится один свободный электрон, который в отсутствие внешнего поля располагается на дне зоны. Приложим к кристаллу внешнее поле , под действием которого электрон будет ускоряться, его кинетическая энергия будет расти, что приведет к его переходу на более высокие энергетические уровни зоны.

При небольших значениях волнового числа k, пока кривая  остается параболой (рис.9.14),  и скорость движения электрона  линейно растет с ростом k, а эффективная масса  остается практически постоянной и равной массе покоя электрона. По мере удаления от нуля кривая  отходит от параболы, нарастание скорости с увеличением k замедляется, а следовательно, увеличивается эффективная масса . В точке А (точка перегиба) первая производная энергии по волновому числу  максимальна, а вторая производная  обращается в нуль.

Поэтому при значении волнового числа , соответствующего точке перегиба зависимости , скорость движения электрона максимальна, а эффективная масса  обращается в бесконечность. При значениях  эффективная масса электрона  меняет знак и становится отрицательной. Скорость движения электрона при  уменьшается, хотя направление внешней силы сохраняется. В точке В ( − граница зоны Бриллюэна) электрон испытывает брэгговское отражение и появляется в точке . В интервале  он ускоряется в направлении, противоположном действию внешней силы, и его скорость меняется от нуля до максимального значения, а эффективная масса – от массы покоя до . В точке  знак эффективной массы меняется на положительный, и в интервале  электрон ускоряется в направлении действия внешней силы.

 

 

Наличие анизотропии кристаллов обуславливает анизотропию динамических свойств электронов при их движении. Вследствие этого эффективная масса является величиной тензорной. Чаще всего анизотропия проявляется в двух направлениях, и поверхности постоянной энергии имеют вид эллипсоидов вращения. В этом случае эффективная масса подразделяется на эффективную массу в продольном направлении  и эффективную массу в поперечном направлении . При отсутствии анизотропии  поверхность постоянной энергии имеет вид сферы и эффективная масса является величиной скалярной. В табл. 9.3 [89] приведены экспериментальные значения эффективной массы электронов вблизи дна зоны проводимости для ряда полупроводников.

Таблица 9.3

Эффективная масса электронов вблизи дна зоны
проводимости для ряда полупроводников

 

Для дырок валентной зоны анизотропия кристалла в меньшей мере влияет на динамические характеристики, поскольку дырки являются способом описания коллективного движения электронов в неполностью заполненной валентной зоне. Для дырок характерно влияние спин-орбитального расщепления, которое обуславливает появление зоны тяжелых  и легких  дырок. В табл. 9.4 [89] приведены характеристические параметры для изоэнергетической поверхности вблизи вершины валентной зоны, описывающие спин-орбитальное взаимодействие, и эффективная масса легких и тяжелых дырок, а также эффективная масса, описывающая динамические свойства с участием обоих типов дырок  для ряда полупроводников.

Таблица 9.4

Характеристические параметры для изоэнергетической поверхности
вблизи вершины валентной зоны и эффективная масса дырок
для ряда полупроводников при 300 К