6.5. Теплопроводность твердых тел

Теплопроводностью называется процесс переноса тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры тела. В твердых телах, в отличие от жидкостей и газов, невозможна конвекция (передача тепла потоками нагретого вещества), поэтому перенос тепла осуществляется только за счет колебаний кристаллической решетки или с точки зрения квантовой теории за счет движения фононов. Если при данной температуре T один из узлов колеблется с амплитудой u, большей среднего значения , то он, будучи связан с соседями силой межатомного взаимодействия, будет действовать на них, вызывая рост амплитуды колебаний соседних частиц. Таким образом, энергия передается от одного узла решетки к другому. Если концы твердого тела (например, стержня) поддерживаются при разных температурах, то в образце возникает непрерывный поток тепла. Каждый узел колеблется с меньшей амплитудой, чем соседний с ним со стороны более нагретого конца, и с большей амплитудой, чем соседний с ним со стороны менее нагретого конца.

Количественно тепловой поток через поперечное сечение стержня за время пропорционален градиенту температуры (закон Фурье):

,

(6.53)

где l - коэффициент теплопроводности, который численно равен количеству тепла, прошедшего через единицу площади за единицу времени при градиенте температуры, равном единице (площадка перпендикулярна оси x). В системе СИ размерность коэффициента теплопроводности составляет Вт/(м×К), но часто используют размерности Вт/(см×К) и кал/(см×с×К). Знак минус в формуле (6.63) показывает, что распространение тепла идет в сторону выравнивания градиента температуры (от более нагретой части тела к менее нагретой).

При низких температурах следует учитывать квантовый характер тепловых волн. Если , то при теплообмене возбуждаются любые колебания в кристалле, все квантовые переходы возможны, и поэтому квантовый характер явления теплообмена не заметен. При низких температурах, когда , в кристалле возбуждены лишь колебания с малыми частотами, и большие энергетические ступеньки не могут быть преодолены возникающими тепловыми «толчками». Рассмотрим процесс передачи тепла на основе представлений о фононах.

Из теории Дебая следует, что возбужденное состояние решетки можно представить как идеальный газ фононов, свободно движущийся в объеме кристалла. Фононный газ в определенном интервале температур ведет себя подобно идеальному газу, а поскольку фононы являются основными переносчиками тепла в твердом теле (это утверждение справедливо только для диэлектриков), то коэффициент теплопроводности твердого тела можно выразить такой же зависимостью, как коэффициент теплопроводности идеального газа

,

(6.54)

где − теплоемкость единицы объема фононного газа, − средняя длина свободного пробега фонона, − скорость распространения звука в данном теле.

Вычисление средней длины свободного пробега фонона представляет собой сложную задачу, поскольку она зависит от того, на чем происходит рассеяние фононов: на других фононах, на дефектах структуры или на внешних гранях образца. Однако теоретический анализ приводит к тому, что при достаточно высоких температурах средняя длина свободного пробега фонона обратно пропорциональна абсолютной температуре. Поэтому коэффициент теплопроводности твердых тел при температурах выше характеристической () обратно пропорционален абсолютной температуре.

В достаточно чистых и бездефектных кристаллах при температуре, близкой к абсолютному нулю, возникает зависимость средней длины свободного пробега фононов от размеров образца. Это объясняется тем, что при низких температурах концентрация фононов мала, а следовательно, мала вероятность рассеяния фононов на других фононах. Пример зависимости коэффициента теплопроводности от температуры при различных сечениях образца монокристалла LiF показан на рис. 6.10 [98]. Видно, что различие в теплопроводности для образцов разного сечения проявляется только в области низких температур.

Рис. 6.10. Решеточная (фононная) теплопроводность как функция от температуры для монокристалла LiF при его различных сечениях: а - 1,33 ´ 0,91 мм; б - 7,55 ´ 6,97 мм

Полагая среднюю длину свободного пробега фононов приблизительно равной линейным размерам кристалла (, где L − линейный размер кристалла), можно уравнение (6.54) переписать в виде

.

(6.55)

В правой части уравнения (6.55) от температуры зависит только теплоемкость единицы объема фононного газа. При температурах, близких к абсолютному нулю, теплоемкость пропорциональна (закон Дебая), поэтому и коэффициент теплопроводности l пропорционален кубу абсолютной температуры. Такой вывод подтверждается экспериментальными данными.

Анизотропия сил связи в кристаллах приводит к анизотропии коэффициента теплопроводности. Это можно проиллюстрировать на примере монокристалла кварца (рис. 6.11). В табл. 6.5 [52] представлены данные о коэффициенте теплопроводности по направлению, параллельному оси с, и по перпендикулярному к этой оси направлению.

Рис. 6.11. Схематическое изображение кристалла кварца и направления осей в нем [75]

Таблица 6.5

Теплопроводность кристалла кварца по различным направлениям
(единицы )

Направление	Температура,
	100	0	-78	-100
Параллельно оси с	32,23	48,98	70,32	176,23
Перпендикулярно оси с	20,09	25,95	36,42	88,32

Из данных таблицы 6.5 видно, что коэффициент теплопроводности вдоль гексагональной оси с кварца приблизительно вдвое выше соответствующих значений в направлениях перпендикулярных оси с, т. е. в направленииях, лежащих в базисной плоскости кристалла. С понижением температуры коэффициент теплопроводности возрастает, как и предсказывает квантовая теория.

Все вышесказанное относится к решеточной (фононной) части теплоемкости твердого тела, свойственной неметаллическим кристаллам. В металлах в переносе тепла, кроме атомов кристаллической решетки, участвуют еще и свободные электроны, которые одновременно являются и носителями электрического заряда, обеспечивая высокую электропроводность металлов. Более того, в чистых металлах основными носителями тепла являются именно свободные электроны, а не фононы. При достаточно высоких температурах металлов решеточная составляющая теплопроводности составляет всего 1−2 % от электронной теплопроводности. Этим объясняется высокая теплопроводность чистых металлов по сравнению с диэлектриками. Например, у алюминия при комнатной температуре коэффициент теплопроводности l = 2,26 ×10⁶ Вт/(см×К), что приблизительно на два порядка больше, чем у кварца (см. табл. 6.5). Однако при очень низких температурах в металлах электронная часть теплопроводности меньше, чем решеточная. Это объясняется эффектами электрон-фононного рассеяния.

На рис. 6.12 приведен вид зависимости теплопроводности от температуры для диэлектриков и металлов.

Рис. 6.12. Сравнительные температурные зависимости коэффициента теплопроводности l: а - для диэлектриков; б - для металлов [52]

В диэлектриках, практически не имеющих свободных электронов, перенос тепла осуществляется только фононами. Выше было сказано, что средняя длина свободного пробега зависит от процессов рассеяния фононов на различных объектах. Все это приводит к тому, что температурная зависимость коэффициента теплопроводности l для диэлектриков имеет вид кривой с максимумом (рис. 6.12, а). Левая восходящая ветвь зависимости обусловлена увеличением числа фононов с ростом температуры, а правая нисходящая связана с ослабляющими фонон-фононным и другими видами рассеяния. Вид зависимости l(T) для металлов (рис. 6.12, б) качественно похож на кривую для диэлектриков. Это связано с преобладанием при очень низких температурах фононного механизма теплопередачи. Однако с ростом температуры вклад фононной составляющей в этот процесс становится пренебрежимо мал и теплопередача осуществляется в основном свободными электронами. При относительно высоких температурах в металлах коэффициент теплопроводности l практически перестает изменяться с увеличением Т.

В табл. 6.6 и на рис. 6.13 [98] показаны значения коэффициентов теплопроводности для отдельных материалов. Проблема теплоотвода для некоторых микроэлектронных и оптоэлектронных изделий является одной из ключевых, обеспечивающих их надежность. Так, например, для полупроводниковых лазеров, работающих в режиме непрерывной генерации, эта проблема является основной. Из данных табл. 6.6 и рис. 6.13 следует, что для улучшения теплоотвода кристаллы можно крепить на алмазные подложки либо подложки из карбида кремния (как непроводящие) или на подложки серебряные или медные (как проводящие).

В связи с ростом степени интеграции и уменьшением геометрических размеров элементов, в том числе токопроводящих дорожек, из значений табл. 6.6 следует, что единственной альтернативой алюминиевой металлизации является использование меди. Серебро, хотя и обладает более высоким значением теплопроводности, не может быть использовано при металлизации вследствие высоких значений коэффициента диффузии.

Таблица 6.6

Значения коэффициента теплопроводности для различных материалов

Материал	Температура:
	300 К	373 К	800 К	1273 К
Металлы
Алюминий	237		220
Медь	398		371
Золото	315		292
Железо	80		43
Никель	91		67
Серебро	427		389
Титан	22		20
Вольфрам	178		128
Керамики и стекла
Кафель (3Al2O3×2SiO2)		5,9		3,8
Фарфор		1,7		1,9
Огнеупорный кирпич		1,1		1,5
Al2O3		30,0		6,3
Шпинель (MgO×Al2O3)		15,0		5,9
MgO		38,0		7,1
ZrO2 (стабильный)		2,0		2,3
TiC		25,0		5,9
Силикатное стекло		2,0		2,5
Сода-известь-силикатное стекло		1,7		–
Полимеры
Нейлон 66	2,9
Фенол	0,17–0,52
Полиэтилен (высокоплотный)	0,33
Полипропилен	2,1–2,4
Политетрафторэтилен (PTFE)	0,24

Рис. 6.13. Теплопроводность отдельных материалов в широком диапазоне температур

Назад Далее...