6.2.2. Приближение Дебая

В приближении Дебая твердое тело рассматривается, как изотропная непрерывная среда – изотропный континуум, поэтому иногда модель Дебая также называют континуальной. Основные положения приближения Дебая можно заключить в несколько пунктов:

1. В изотропной непрерывной среде частота колебаний пропорциональна волновому числу: , где  − скорость распространения волны (скорость звука), т. е. дисперсия отсутствует.
2. Вводя линейную зависимость частоты от волнового числа , Дебай сохраняет периодичность изменения , причем область периодичности определяется границами зоны Бриллюэна. Например, для линейной цепочки атомов с периодом a эта область заключена в пределах .
3. Зона Бриллюэна в модели Дебая имеет сферическую форму, скорости звука считаются не зависящими от направления для всех трех ветвей поляризации (продольной и двух поперечных волн), а среднее значение скорости звука  рассчитывается из выражения

,

(6.21)

где  − скорости продольной и двух поперечных волн соответственно.

Максимальное  значение круговой частоты  также не зависит от направления и равно .

 

Для расчета средней тепловой энергии  кристалла необходимо найти вид функции распределения , т. е. число колебаний (фононов), приходящихся на интервал dw.

Найдем n_j – полное число колебаний в j-й ветви спектра. Для простоты будем считать, что кристалл представляет собой куб, содержащий  атомов, длина ребра куба , где а − период решетки. Волну, распространяющуюся в кристалле, запишем в виде

 

.

(6.22)

где x, y, z – координаты точки n.

Периодические граничные условия тогда будут иметь вид :

.

Значит, . Это условие выполняется когда  Следовательно, на объем  в k-пространстве (пространство волновых чисел) приходится одно разрешенное значение  и число мод в единице объема равно .

Тогда полное число мод для j-й ветви спектра колебаний, заключенных в пределах сферы радиуса k, равно

,

(6.23)

где  – скорость звука для j-й ветви спектра. Следовательно, функция распределения

.

(6.24)

Поскольку , то формула (6.24) принимает вид

.

(6.25)

Формула (6.25) представляет собой плотность фононных состояний дебаевского кристалла, вид которой показан на рис. 6.4 в сравнении с  в приближении Эйнштейна и примерным видом функции плотности состояний в реальном кристалле.

 

 

Видно, чтов приближении Дебая является параболической функцией частоты колебаний.

Величину максимальной циклической частоты колебаний в приближении Дебая обозначают  и называют частотой Дебая. Ее можно определить из условия, что число возможных колебаний решетки должно быть равно произведению числа атомов в ней на число ветвей колебаний .            Используя формулу (6.25), можно записать . Отсюда , и дебаевская частота колебаний

.

(6.26)

Подставляя (6.25) в выражение для средней энергии тепловых колебаний решетки (6.15), получим

.

(6.27)

Тогда, учитывая из (6.26), что , выражение для средней тепловой энергии кристалла в модели Дебая преобразуется к виду

.

Обозначим, как мы уже делали ранее, , тогда , а , таким образом,

,

(6.28)

где . Вынося за знак интегрирования постоянные величины, получим следующее выражение для тепловой энергии

.

(6.29)

Дебаевская частота колебаний  связана с характеристической температурой Дебая соотношением . Покажем, что температуру  можно связать с величиной силы межатомного взаимодействия. Закон изменения частоты в дебаевском приближении можно представить как . Для одноатомной цепочки в модели Дебая . С другой стороны, , а значит можно записать

 

или .

(6.30)

Таким образом, величина коэффициента квазиупругой силы межатомного взаимодействия пропорциональна квадрату характеристической температуры.

Теперь, учитывая, что , формулу (6.29) можно переписать в виде

.

(6.31)

Дифференцируя (6.31) по T, получим выражение для теплоемкости при постоянном объеме

 

(6.32)

Учтем, что , тогда

 

(6.33)

При низких температурах , поэтому верхний предел интегрирования в выражении для энергии (6.33) можно положить равным бесконечности, тогда

,

где величина суммы  берется из математических таблиц.

Поэтому при низких температурах, когда

и .

(6.34)

Таким образом, при низких температурах ход зависимости теплоемкости от температуры согласуется с экспериментом для диэлектриков: теплоемкость  пропорциональна . Этот закон называют законом  Дебая. Он довольно хорошо выполняется при достаточно низких температурах, когда возбуждены лишь акустические колебания. Т. е. возбуждаются именно те колебания, которые можно рассматривать как колебания упругой среды (континуума), описываемые макроскопическими упругими постоянными. Энергии коротковолновых фононов слишком велики, чтобы число таких фононов ánñ могло быть заметным при низких температурах.

При высоких температурах  и выражение для внутренней энергии тела сводится к классическому закону Дюлонга и Пти следующим образом:

 

	(6.35)
.	(6.36)

Таким образом, при высоких температурах, когда возбуждены все моды оптического спектра, они дают постоянный, не зависящий от температуры вклад в теплоемкость при постоянном объеме C_V.

Для многих твердых тел спектр колебаний атомов состоит из акустических и оптических ветвей. Как указывалось выше, оптические ветви могут быть охарактеризованы спектром типа эйнштейновского. Поэтому при объяснении экспериментальных данных часто используют спектр, состоящий из комбинации дебаевского и эйнштейновского приближений.

Данные по зависимости теплоемкости от температуры C_V и характеристической температуре Дебая q_D для некоторых металлов представлены в табл. 6.2. Видно, что для материалов с высокими температурами плавления и высокой прочностью характеристические температуры Дебая высоки, а для более мягких металлов они характеризуются относительно низкими значениями.

 

Таблица 6.2

Теплоемкость и связь температуры Дебая
с механическими свойствами некоторых металлов

T, K		,	Свойства материала	Материал	, К
1			Материалы с высокой температурой плавления и высокой прочностью	вольфрам молибден хром	450 400 630
5
10
50		50	Более мягкие материалы	медь цинк	343 327
			Мягкие материалы	золото калий	165 91

 

Для реальных твердых тел температуры, для которых справедливо дебаевское приближение (закон ), лежат в области температур порядка . Как видно из предыдущих рассуждений, для вычисления теплоемкости твердого тела необходимо знание функции плотности фононных состояний . На практике эту функцию определяют из экспериментальных данных, например методом неупругого рассеяния нейтронов или рентгеновских лучей. Затем методом компьютерного расчета можно аналитически найти вид .