14.2.2. Коэффициент прозрачности для туннелирования через треугольный барьер

Получим выражение для коэффициента прозрачности при туннелировании через треугольный барьер, изображенный на рис. 14.15, а, следуя [107]. Будем считать, что масса электрона m во всех трех областях равна массе свободного электрона. Тем самым в данном случае не будем учитывать наличие зонной структуры и зависимости E(k) в областях I, II, III. Запишем уравнение Шредингера для I, II, III областей в виде:

(I)     (II)     (III)

; ; ,

(14.42)

где ψ_I, ψ_II, ψ_III – волновые функции, описывающие поведение электрона соответственно в I, II и III областях, E – энергия электрона, U(x) – высота потенциального барьера в области II.

 

Рис. 14.15. Треугольный барьер: а – вид волновых функций при туннелировании через треугольный барьер; б – зонная диаграмма, поясняющая туннельную инжекцию из полупроводника в зону проводимости диэлектрика

Учтем, что зависимость U(x) имеет для треугольного барьера следующий вид:

,

(14.43)

где a – максимальная ширина барьера при E = 0; E – напряженность электрического поля, обуславливающая данную форму барьера.

Для области I решение уравнения (14.42) дает волновые функции ψ_I(x) в виде бегущих (падающей и отраженной) волн:

.

(14.44)

Для области III решение уравнения (14.40) дает волновые функции ψ_III(x) в в иде бегущей волны.

.

(14.45)

Для области II уравнение Шредингера заменой переменных [14]

(14.46)

приводится к виду

.

(14.47)

Решение уравнения типа (14.47) выражается через цилиндрические функции Z_ν с ν = 1/3:

.

(14.48)

Решение (14.48) следует выбирать в виде

,

(14.49)

где  – функция Ганкеля, при этом при x → +∞ величина y → +∞, и получаем необходимую асимптотику волновой функции

.

(14.50)

Величина падающего потока частиц на барьер слева j_пад равна

.

(14.51)

Величина прошедшего потока

.

(14.52)

Комбинируя (14.51) и (14.52), находим коэффициент прозрачности D(E)

.

(14.53)

Величину C(E) найдем из условий сшивания волновых функций  и  при x = 0. Непрерывность волновой функции и ее производной дает:

(14.54)

где величины ξ и y₀ имеют значения:

.

(14.55)

Из (14.54) получаем

.

(14.56)

Окончательно значение коэффициента прозрачности D(E) получаем

.

(14.57)

Для реальных величин больших барьеров , малых энергий частиц , причем , соотношение (14.57) согласно [14] преобразуется к виду

.

(14.58)

Или, используя значение для a в виде (14.39),

.

(14.59)

Выражение (14.59) определяет коэффициент прозрачности D(E) для туннелирования низкоэнергетичных частиц через потенциальный барьер треугольной формы.