Глава 14
ПОВЕРХНОСТНЫЕ И КОНТАКТНЫЕ  ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

14.1. Термоэлектронная эмиссия с поверхности твердых тел

14.1.1. Ток термоэлектронной эмиссии в равновесных условиях

Рассчитаем ток эмиссии электронов с поверхности полупроводника в условиях термодинамического равновесия. Все свободные электроны в полупроводнике находятся в потенциальной яме. Функция распределения этих электронов по степеням свободы описывается больцмановской статистикой:

(14.1)

                                                       

Из этого выражения следует, что если энергия электрона E существенно больше, чем энергия Ферми F, то всегда будет определенное число электронов с этой энергией. Следовательно, существует отличная от нуля вероятность f, что в условиях термодинамического равновесия часть электронов в полупроводнике будет обладать энергией E > 0, т. е. они могут покидать поверхность полупроводника. Такие электроны называют горячими электронами. Ток, обусловленный этими электронами, называется током термоэлектронной эмиссии. Таким образом, ток термоэлектронной эмиссии – это ток, обусловленный горячими равновесными электронами вследствие распределения энергии по степеням свободы.

Рассчитаем величину этого тока, исходя из первых принципов квантовой статистики. Выберем элемент объема dp в фазовом пространстве квазиимпульсов p_x, p_y, p_z. Согласно принципу Паули, минимальный объем, который может занимать одна частица в фазовом пространстве координат и квазиимпульсов: (Δp_x·Δx)(Δp_y·Δy)(Δp_z·Δz) ≥ h³. В случае единичного координатного объема ΔxΔyΔz = 1 это условие трансформируется: (Δp_x·Δp_y·Δp_z) ≥ h³. Тогда число состояний dz для электронов в единице объема и фазовом пространстве объемом dp = dp_x·dp_y·dp_z в соответствии с принципом Паули равно [48, 49, 82]:

.

(14.2)

Чтобы узнать число электронов dn, нужно число состояний dz умножить на вероятность их заполнения f (E,T):

.

(14.3)

Функция распределения электронов по состояниям для электронов и дырок – в общем случае функция Ферми–Дирака. Однако поскольку рассматриваются электроны с большой энергией, способные покинуть поверхность полупроводника (E – F >> kT), то функция распределения с высокой степенью вероятности будет больцмановской:

.

(14.4)

Поток электронов, т. е. количество электронов, за единицу времени ушедших с поверхности полупроводника в вакуум из фазового объема dt, равно их числу в элементе объема с площадью S = 1 и длиной l = υ_x:

.

(14.5)

Плотность тока J за счет этого будет равна:

(14.6)

Для того чтобы рассчитать плотность тока на основе (14.6), проведем некоторое преобразование. Выразим полную энергию электрона Е (потенциальную и кинетическую) через его скорость υ:

.

(14.7)

Тогда для плотности тока J получаем:

.

(14.8)

В соотношении (14.8) первый и второй интегралы выражаются через интеграл Пуассона , следовательно,

.

(14.9)

Последний интеграл в уравнении (14.8) непосредственно считается. Получаем:

.

(14.10)

Подставляя (14.9) и (14.10) в (14.8), получим выражение для тока термоэлектронной эмиссии:

.

(14.11)

Формула (14.11) называется формулой Ричардсона для тока термоэлектронной эмиссии из полупроводника в вакуум. ; А – постоянная Ричардсона.

Численное значение постоянной Ричардсона составляет .

Поскольку энергия Ферми отрицательна F < 0, то расстояние до уровня Ферми F, отсчитанное от уровня вакуума Е = 0, будет положительным. Обозначим его Ф и назовем термодинамической работой выхода:

.

(14.12)

Таким образом, термодинамическая работа выхода – это энергия Ферми с обратным знаком.

С учетом сказанного выражение для тока термоэлектронной эмиссии:

.

(14.13)

Итак, из соотношения (14.13) следует, что ток термоэлектронной эмиссии j_t с поверхности полупроводника определяется только термодинамической работой выхода Ф и температурой Т.

Для того чтобы экспериментально зарегистрировать ток термоэлектронной эмиссии j_t, необходимо обеспечить уход эмитированных электронов от поверхности, чтобы вблизи поверхности полупроводника не накапливался объемный заряд.

Оценим значение тока термоэлектронной эмиссии. Выберем характерные величины параметров, учитывая, что ток экспоненциально сильно зависит от температуры Т:

Ф = 2,5 эВ, Т₁ = 300 К, Т₂ = 1500 К, k_BT₁ = 0,025 эВ, k_BT₂ = 0,125 эВ.

Значения тока, рассчитанные по соотношению (2.12), будут следующими:

j_t1 = 10^-36 А/см²,  j_t2 = 0,8 А/см².

Видно, что изменение температуры в 5 раз вызвало экспоненциально сильно зависящее от температуры Т изменение тока термоэлектронной эмиссии на 36 порядков.