11.4. Уравнение непрерывности

Динамика изменения неравновесных носителей по времени при наличии генерации и рекомбинации в полупроводнике, а также при протекании электрического тока определяется уравнением непрерывности. Для полупроводника n‑типа уравнение непрерывности будет описывать динамику изменения концентрации дырок p_n:

(11.27)

где J_p – плотность дырочного ток, включающая дрейфовую и диффузионную компоненту, G_p – темп генерации неравновесных носителей, а R_p – темп рекомбинации.

Уравнение непрерывности – это уравнение сохранения числа частиц в единице объема. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация неравновесных дырок со временем. Во-первых, концентрация дырок может изменяться из-за дивергенции потока дырок, что учитывает первое слагаемое в правой части уравнения. Во-вторых, концентрация дырок может изменяться из-за генерации (ударная ионизация, ионизация под действием света и т. д.). В-третьих, концентрация дырок может изменяться из-за их рекомбинации, что учитывает третье слагаемое [49, 82].

Если левая часть уравнения (11.27) отлична от нуля, то уравнение непрерывности описывает динамические, зависящие от времени концентрации неравновесных носителей p_n(x, t). Затем это выражение используется для анализа частотных и переходных характеристик полупроводниковых приборов.

Если левая часть уравнения (11.27) равна нулю, то уравнение непрерывности описывает стационарные значения концентрации неравновесных носителей p_n(x). Это выражение используется для расчета статических вольтамперных характеристик приборов. В стационарном состоянии (при отсутствии генерации) уравнение непрерывности переходит в обычное диффузионное уравнение.

С учетом отмеченных выше допущений уравнение непрерывности имеет вид:

(11.28)

где L_p – диффузионная длина.

Введем следующие граничные условия:

• при x = 0, p_n = p_n(x = 0);

• при x → ∞, p_n = p_n₀.

Решение дифференциального уравнения с граничными условиями имеет вид:

(11.29)

Из соотношения (11.29) следует, что диффузионная длина L_p есть среднее расстояние, на которое неравновесные носители распространяются от области возмущения (инжекции). Соотношение, связывающее коэффициент диффузии D_p, длину диффузии L_p и время жизни t_p неравновесных носителей, имеет следующий вид:

(11.30)