10.10. Подвижность свободных носителей заряда при различных механизмах рассеяния

Среди доминирующих механизмов рассеяния  свободных носителей в твердых телах следует выделить рассеяние на колебаниях решетки (акустических и оптических фононах), рассеяние на заряженной примеси, рассеяние на нейтральных атомах. Для каждого из этих механизмов рассеяния характерна своя зависимость времени релаксации от энергии и температуры. Расчет зависимости времени релаксации от энергии τ(E) представляет сложную квантово-механическую задачу и выходит за рамки этого курса.

Для фононного механизма рассеяния зависимость τ(E) выражается следующим соотношением:

.

(10.74)

Подставляя (10.74)  в (10.71) и проводя интегрирование, получаем для усредненного времени релаксации при рассеянии на фононах

.

(10.75)

С учетом соотношения (10.75) величина подвижности свободных носителей при рассеянии на фононах будет равна

.

(10.76)

Из уравнения (10.76) следует, что подвижность свободных носителей уменьшается с ростом температуры по степенному закону. С точки зрения физики данный участок зависимости подвижности свободных носителей от температуры объясняется тем, что число фононов также возрастает с ростом температуры.

Для рассеяния на атомах ионизованной примеси выражение для времени релаксации определяется соотношением

,

(10.77)

где Z – число электронов, N – концентрация примеси. Усредненное время релаксации имеет вид

.

(10.78)

Соответственно величина подвижности при рассеянии на заряженной примеси будет равна

.

(10.79)

Для полупроводников роль заряженной примеси играют доноры и акцепторы. На рис. 10.13 показана экспериментальная зависимость подвижности электронов и дырок в кремнии, германии и арсениде галлия от концентрации легирующей примеси при комнатной температуре.

 

Рис. 10.13. Подвижность электронов и дырок при комнатной температуре как функция концентрации легирующей примеси в германии, кремнии и арсениде галлия [13]

 

При наличии в твердом теле нескольких типов центров рассеивания, вероятность рассеивания на каждом из них не зависит друг от друга, и общая вероятность рассеивания определяется суммой парциальных вероятностей:

.

(10.80)

С учетом этого должны суммироваться обратные значения времен релаксации, следовательно, для суммарного времени релаксации получаем

.

(10.81)

Аналогично получаем и для подвижности свободных носителей. В качестве примера, если в твердом теле два доминирующих механизма рассеивания (примесь и тепловые колебания решетки), то для подвижности получаем следующее соотношение:

,

(10.82)

где a и b − постоянные величины. Анализ уравнения (10.82) показывает, что в разных температурных диапазонах будет доминировать тот или иной механизм рассеивания, и он будет определять величину и температурную зависимость подвижности.

На рис. 10.14  показаны температурная зависимость и подвижность электронов в антимониде индия с различным уровнем концентрации легирующей примеси.

 

Рис. 10.14. Температурные зависимости подвижности электронов и дырок в антимониде индия [13, 82]

 

Как видно из экспериментальных данных, приведенных на рис. 10.14, и для электронов, и для дырок в области высоких температур подвижность уменьшается с ростом температуры вследствие рассеяния на акустических фононах по закону, близкому к описываемому соотношением (10.76). При низких температурах подвижность растет с ростом температуры по закону, определяемому соотношением (10.79), и этот характер обусловлен рассеянием на ионах примесей.