В предыдущих главах в основном использовались представления классической физики, поскольку речь шла исключительно о расположении атомов в кристаллической решетке. Квантовые представления оказались необходимы лишь в том случае, когда обсуждались эффекты, связанные с колебаниями атомов кристаллической решетки. Атомы, если их рассматривать как несжимаемые шары, достаточно велики, так что макроскопическая механика Ньютона вполне характеризует их поведение. Однако внутренняя структура атомов не может быть рассмотрена в рамках классической теории. В частности, электроны настолько малы по размерам и массе, что обычная макроскопическая физика неприменима для описания их поведения. В этом случае на помощь приходит аппарат квантовой механики, который позволяет сформулировать задачу о взаимодействии всех частиц, составляющих твердое тело. Вместе с тем точное описание такого взаимодействия представляет собой практически неразрешимую задачу. Дело в том, что каждая частица (электроны и ядра атомов), входящая в состав кристалла объемом 1 см3, взаимодействует с 1023−1024 частиц, причем все они находятся в непрерывном и очень сложном движении. Сложность задачи привела к созданию моделей, позволяющих, благодаря ряду упрощений, прийти к построению теории твердого тела в ее современном виде.
При описании ряда свойств твердых тел (электрические, магнитные, оптические) необходимо, прежде всего, знать состояние валентных электронов. Данное обстоятельство упрощает задачу, однако не позволяет решить ее точно.
Рассмотрим модель металла, внешняя электронная оболочка атомов в котором заполнена лишь частично. При сближении атомов электроны внешней оболочки получают возможность достаточно свободно мигрировать в пространстве и образуют так называемый электронный газ. В первом приближении такие электроны можно считать свободными, не чувствующими влияния кулоновского поля ионов, а кристалл представляет собой совокупность периодически расположенных ионов, «плавающих» в однородном электронном газе. Такая модель носит название модели свободных электронов [27, 79]. Однако, такая модель в большинстве случаев не позволяет объяснить различия между диэлектриками, полупроводниками и проводниками. Для выяснения природы этого различия необходимо учесть тот факт, что электроны движутся в периодическом поле ионов, находящихся в узлах решетки. Периодическое поле ионов кристалла обуславливает неоднородность распределения электронного газа в пространстве.