6.2. Энергия тепловых колебаний решетки

Для объяснения первого из перечисленных фактов рассмотрим основы квантовой теории теплоемкости, в которой колебания атомов в кристалле описываются совокупностью квазичастиц – фононов, энергия которых e_i подчиняется законам квантовой статистики.

Каждому кванту энергии упругой волны удобно сопоставить фонон с энергией . Тепловая энергия тела будет суммой энергий фононов

.

(6.4)

Суммирование в формуле (6.4) проводится по всем разрешенным значениям частот, заключенных в первой зоне Бриллюэна. С учетом функции распределения фононов по частотам (частотный спектр фононов), тепловая энергия тела в интегральной форме будет иметь вид

,

(6.5)

где − среднее значение энергии фонона.

Следовательно, для определения тепловой энергии кристалла, а затем и его теплоемкости необходимо знать функцию распределения D(w) и среднюю энергию тепловых колебаний атомов.

В гл 5 было показано (формула 5.61), что энергия гармонического квантового осциллятора может быть представлена в виде двух слагаемых: энергии нулевых колебаний атомов и энергии . Нулевые колебания не несут тепловой энергии и без учета теплового расширения (в гармоническом приближении) от температуры не зависят, а второе слагаемое характеризует возбужденное состояние системы. квант энергии возбужденного состояния называют фононом.

Число возбужденных фононов n, имеющих энергию , зависит от величины возбуждающей энергии. Если это тепловая энергия, то каждый раз, когда температура возрастает на , амплитуда колебаний возрастает на величину, определяемую из условия и равную

.

(6.6)

Энергия колебаний с частотой возрастает при этом на величину энергии фонона.

Очевидно, что при данной температуре число возбужденных фононов будет максимально у наиболее низкочастотных колебаний. Это число убывает при увеличении частоты .

Заметим, что величина одного кванта энергии , т. е. минимальная величина энергии, необходимая для возбуждения наиболее высокочастотных колебаний в кристаллической решетке, не является малой величиной. Сравнивая с энергией классического осциллятора при некоторой температуре , т. е. приравнивая и подставляя табличные величины и , находим, что .

Общая картина энергетического спектра колебаний кристаллической решетки, определяемого формулой (5.61), изображена на рис. 6.2. Вертикальные линии соответствуют разрешенным значениям частот. Разрешенные значения энергии задаются точками пересечения наклонных прямых с вертикальными, а сами наклонные прямые соответствуют различным значениям квантовых чисел . Расстояние между точками на вертикальных прямых равно кванту энергии .

Рис. 6.2. Зависимость энергии колебаний от частоты

При температуре, равной нулю, в спектре присутствуют только нулевые колебания, значения которых даны точками на наклонной прямой . Возбужденным при Т₁ квантам энергии отвечают точки, расположенные ниже горизонтальной пунктирной прямой . При температуре возбуждаются колебания с частотами , а более высокочастотные колебания в спектре отсутствуют. При дальнейшем повышении температуры возбуждаются колебания с более высокими частотами, и одновременно растет число квантов низкочастотных колебаний. Из рис. 6.2 следует, что при некотором значении температуры T=T^* возбуждаются все возможные колебания системы с частотами от до . Дальнейшее повышение температуры не приводит к появлению волн с новыми частотами , а ведет лишь к увеличению амплитуды колебаний (числа возбужденных квантов) с каждой частотой .

При повышении температуры в первую очередь возбуждаются низкочастотные колебания. Экспериментальным путем было установлено, что минимальная частота для кристалла размерами приблизительно 1 см составляет около 10⁵ Гц, т. е. на восемь порядков меньше максимальной частоты. Тогда , т. е. низкочастотные колебания возбуждаются уже при температуре около 10^-6 K.

Макроскопические тела представляют собой совокупность очень большого числа частиц, движущихся по законам классической или квантовой механики. В таких системах свойства подчиняются статистическим закономерностям.

Найдем среднее значение энергии фонона как гармонического квантового осциллятора. Распределение фононов по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана. В гармоническом приближении рассматривается система невзаимодействующих фононов, т. е. ее можно представить как идеальный фононный газ. Согласно статистике Больцмана, вероятность нахождения осциллятора в n-м квантовом состоянии с энергией равна [59]

.

(6.7)

Коэффициент определяется из условия нормировки . Следовательно, . Таким образом,

.

(6.8)

В этом случае средняя энергия осциллятора при заданной температуре будет равна сумме произведений возможных энергий осциллятора на их вероятность:

.

(6.9)

Обозначим в формуле (6.9) , тогда прямым дифференцированием можно убедиться, что

,

(6.10)

где . Найдем величину g, подставив в (6.9) выражение для энергии осциллятора в данном состоянии :

,

где − бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем и первым слагаемым . Таким образом, учитывая, что , получим

,

(6.11)

Отсюда

.

(6.12)

Подставляя выражение (6.12) в (6.10), получим

.

(6.13)

Первое слагаемое в формуле (6.13) соответствует нулевой энергии осциллятора, а второе слагаемое можно рассматривать как произведение энергии фонона на среднее число фононов , находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии

,

(6.14)

где .

Значит фонон – это возбуждение кристалла над нулевым уровнем энергии, соответствующим нулевым колебаниям атомов, совершающимся при температуре абсолютного нуля.

Оценим количество атомов, находящихся на возбужденных уровнях при . Поскольку каждый атом в решетке совершает одновременно колебания со всеми частотами , возбужденными при данной температуре, то при на первом энергетическом уровне () для атомов, колеблющихся с частотой , энергия колебаний . Тогда и вероятность нахождения атома в состоянии с данным квантовым числом n будет . Пользуясь этим соотношением, для различных получим значения вероятности :

		Количество ат. % от общего числа
1	0,232	23%
2	0,0855	8,5%
3	0,031	3,1%

Следовательно, p_n показывает, что на каждом энергетическом уровне при температуре возбуждаются не все атомы: с энергией первого возбужденного уровня, соответствующей частоте , колеблется только приблизительно 23 % атомов, с энергией второго – 8,5 % и третьего – 3,1 % от общего числа атомов кристалла. Таким образом, при температуре значительная часть атомов совершает только нулевые колебания с частотой .

Число атомов, возбужденных на первом энергетическом уровне при частоте , экспоненциально быстро уменьшается с понижением температуры. Так, при оно составляет около 12 %; при − около 5 % от общего числа атомов в элементарной ячейке; при (несколько кельвинов) это число составляет около (N − число атомов в ячейке), т. е. в решетке практически отсутствуют возбужденные на частоте атомы.

Следовательно, температуру можно рассматривать как граничную характеристическую температуру при достижении которой в кристалле возбуждаются колебания со всеми возможными частотами. При увеличении температуры выше число возбужденных на частоте атомов быстро возрастает, так что при возбуждаются колебания с частотой практически у всех атомов. Характеристическую температуру обычно называют температурой Дебая и обозначают (=).

Используя полученную выше зависимость для средней энергии фонона (6.14), запишем выражение для среднего значения энергии тепловых колебаний всей решетки

.

(6.15)

Поскольку нулевые колебания тепловой энергии не несут, то в (6.15) отсутствует эта часть энергии.

Для расчета необходимо знать функцию распределения фононов по частотам . Однако даже для простой трехмерной структуры получить аналитическое выражение для очень сложно. Поэтому вычисление энергии колебаний производится для конкретных моделей, в которых вводится предположение о виде функции . Существуют два основных приближения: Эйнштейна (1907) и Дебая (1912).

Назад Далее...