5.7. Локальные фононные моды

Фононный спектр кристалла может изменяться в присутствии дефектов решетки и примесных атомов. Заменим атом цепочки, находящийся в начале координат, более легким атомом. Тогда под влиянием колебаний этого атома близлежащие атомы будут колебаться несколько иначе, нежели атомы, расположенные вдали от него [69]. Пусть масса «дефектного» атома , а всех остальных − M (). Покажем, что одно из нормальных колебаний решетки локализуется в районе более легкого атома и соответствующая частота увеличивается по сравнению с максимальной частотой колебаний ненарушенной (исходной) решетки. Учтем взаимодействие только ближайших соседних атомов и предположим, что оно одинаково для всех сортов атомов, а примесный атом находится в нулевом положении в цепи. Тогда уравнения движения атомов решетки будут иметь вид

(5.66)

Поскольку при удалении от примесного атома деформация затухает, то решение будем искать в виде «затухающей» функции, которая в пределе  приближается к форме нормального колебания максимальной частоты для решетки без дефекта. Нумеруя координату атома символом n, получим решение у границы зоны Бриллюэна для невозмущенного колебания в виде

.

(5.67)

В случае наличия дефекта и появления возмущенного состояния решение будет иметь вид

,

(5.68)

где a − коэффициент, который должен быть определен. Подставляя (5.68) в (5.66), получим

(5.69)

и в то же время

.

(5.70)

Поскольку волны в цепочке объединяют колебания всех атомов, то можно приравнять (5.69) к (5.70). В результате получим

.

(5.71)

Учитывая, что максимальная частота колебаний для невозмущенной решетки, в которой , определяется как , получим

.

(5.72)

Этот результат свидетельствует о том, что частоты колебаний при наличии дефекта могут оказаться в области запрещенных частот. Это приводит к дополнительным частотам в фононном спектре, а значит и дополнительным энергиям мод колебаний. Например, это наблюдается при замене в кристалле KCl иона хлора Cl^- на ион иода I^-.

Определенные виды примесей, особенно очень тяжелые, могут приводить к локализованным колебаниям, чьи частоты лежат в области разрешенных фононных частот чистого исходного кристалла. Такие колебания характеризуются сильно увеличивающейся амплитудой колебания примесного атома, т. е. возникает резонансное квазилокализованное состояние. Этот эффект наблюдается, например, когда ион Ag⁺ замещает ион K⁺ в кристалле KI.

Рассмотренные нами локализованные состояния называются локальными фононными модами.