12.3. Элементы зонной теории
сверхпроводимости Бардина–Купера–Шриффера. Куперовские пары
У проводников
в нормальном состоянии, если пренебречь наличием периодического поля решетки (модель
Зоммерфельда), состояние свободных электронов в зоне проводимости можно описать
потенциальной ямой с гладким дном, заполненной до уровня Ферми 
(рис. 12.9).
|
|
|
Рис. 12.9. Состояние свободных электронов в зоне проводимости: I – нулевой уровень; II – уровень Ферми; III – дно потенциальной ямы |
Кинетическая энергия электронов в зоне проводимости:
|
|
(12.6) |
где p − импульс электрона, k − волновое число, m − масса электрона.
При включении электрического поля E распределение электронов по состояниям меняется: они перебрасываются из левой области распределения в правую (рис. 12.10). Это соответствует переходу части электронов из области отрицательных волновых чисел в область положительную. Такие переходы в металле возможны, т. к. над уровнем Ферми находится огромное число незаполненных уровней.
|
|
|
Рис. 12.10.
Зависимость энергии электрона от волнового числа |
Если бы не действовали никакие ограничивающие факторы, то за время Dt под влиянием поля E импульс электронов зоны, расположенной над уровнем Ферми (зоны проводимости), увеличился бы на
|
|
(12.7) |
где e −
заряд электрона; 
– сила,
действующая на электроны со стороны поля; 
– импульс силы. При
этом в проводнике возник бы ток, плотность которого 
, где 
− дрейфовая скорость электрона под действием
поля, а n −
концентрация электронов. Тогда
|
|
(12.8) |
Из выражения (12.8) видно, что плотность тока росла бы неограниченно с течением времени, и это соответствовало бы бесконечной электропроводности:
.
Однако в действительности этого
не наблюдается. Факторами, мешающими бесконечному росту тока, являются процессы
рассеяния электронов на тепловых колебаниях кристаллической решетки – фононах,
которые присутствуют в ней при любых температурах выше абсолютного нуля.
Процессы рассеяния ограничивают скорость дрейфа электронов до величины 
(
− время релаксации электронов), а плотность тока до
|
|
(12.9) |
.При этом электропроводность уменьшается до значения
|
|
(12.10) |
.Оказывается,
можно построить такую модель энергетического спектра, которая предотвращала бы
протекание процессов рассеяния. Такая модель отличается от приведенной выше
наличием энергетической щели 
, в середине которой расположен уровень Ферми, и сходна с зонной
структурой полупроводника при температуре 
.
Поскольку
металл сохраняет высокую проводимость и при температуре, близкой к 
, то, в отличие от полупроводников, где энергетическая щель не
меняет своего положения под действием внешнего поля E,
энергетическая щель в металле должна двигаться под действием поля E вместе с электронным распределением.
За время Dt волновой вектор электронов увеличивается на
|
|
(12.11) |
,и щель смещается вправо на Dk.
Рассмотрим все потенциальные возможности рассеяния электрона, находящегося на верхнем уровне правой полузоны (рис. 12.11):
•
упругое рассеяние с изменением волнового вектора 
на 
;
• переходы на левые нижние уровни;
• переходы на верхние левые уровни.
|
|
|
Рис. 12.11. Щелевой характер зависимости энергии от волнового числа в сверхпроводниках |
При наличии
энергетической щели переходы 1 запрещены, т. к. ведут в область запрещенных
энергий ; переходы типа 2 запрещены согласно принципу Паули,
поскольку на этом энергетическом уровне уже находятся два электрона с
противоположными спинами; переходы 3, хотя и разрешены, но требуют
дополнительных затрат энергии, равных .
Если
температура достаточно низкая, так что энергия фонона 
, то эти переходы не реализуются. Таким образом, в металле,
зонная структура которого обладает такой энергетической щелью, процессы
рассеяния в определенных условиях протекать не будут. Поэтому металл может
приобрести идеальную проводимость, свойственную сверхпроводникам.
В настоящее время разработан целый ряд методов, позволяющих не только обнаружить энергетическую щель в сверхпроводящих металлах, но и измерить ее ширину. Один из них основан на изучении поглощения электромагнитных волн далекой инфракрасной области.
Если на
сверхпроводник направить поток электромагнитных волн и непрерывно менять их
частоту w, то до тех пор, пока
энергия кванта ћw
этого излучения остается меньше ширины щели , энергия излучения не поглощается. При некоторой критической
частоте 
, для которой 
, начинается интенсивное поглощение излучения, которое
возрастает до его значений в нормальном металле. Измерив критическую частоту , можно определить ширину энергетической щели .
Из
табл. 12.3 [74] видно, что между шириной щели и критической температурой 
наблюдается
непосредственная связь: чем выше , тем шире энергетическая щель .
Таблица 12.3
Ширина энергетической щели для некоторых
металлов
|
Вещество |
Al |
Sn |
Hq |
V |
Pb |
Nb |
|
Ещ ×10-3 эВ |
3,26 |
11,0 |
16,4 |
17,3 |
21,4 |
22,4 |
|
Тс, К |
1,19 |
3,72 |
4,15 |
5,46 |
7,2 |
9,3 |
Теория
Бардина–Купера–Шриффера приводит к следующему приближенному выражению,
связывающему критическую температуру с шириной энергетической щели :
|
|
(12.12) |
.Формула (12.12) достаточно хорошо подтверждается опытом.
Явление сверхпроводимости не является свойством отдельных атомов, в частности, экспериментальные результаты показывают, что серое олово является полупроводником, а белое − металлом с температурой перехода в сверхпроводящее состояние Tc=3,72 K. Разные кристаллические модификации лантана имеют разные значения критической температуры Tc=4,8 K (a-La), Tc=5,95 K (b-La). Налицо зависимость свойств сверхпроводимости от кристаллической структуры материала.
Очень странным казалось, что такие хорошие проводники, как медь, золото, серебро, не становятся сверхпроводниками ни при каких температурах. Это приводит к выводу, что для возникновения сверхпроводимости необходимо сильное взаимодействие электронов с решеткой, т. е. ситуация, когда электроны испытывают со стороны решетки сильное сопротивление своему движению под действием электрического поля.
Итак, между носителями сверхпроводящего тока существует жесткая фазовая корреляция. Купером было показано, что носителями сверхпроводящего тока являются частицы с зарядом, равным удвоенному заряду электрона 2е, которые получили название куперовских пар.
Свободный электрон зоны проводимости, двигаясь сквозь решетку и взаимодействуя с ионами, слегка «оттягивает» их из положения равновесия, создавая в «кильваторе» своего движения избыточный положительный заряд (рис. 12.12).
|
|
|
Рис. 12.12. Свободный электрон, двигаясь между положительно заряженными ионами кристаллической решетки, вызывает их смещения из положения равновесия, в результате чего возникает локальный избыточный положительный заряд |
Избыточный положительный заряд может притянуть другой электрон. В результате в металле, помимо кулоновского отталкивания между электронами, может возникать косвенная сила притяжения, связанная с наличием решетки положительных ионов. Если эта сила оказывается больше силы отталкивания, то энергетически выгодным становится объединение электронов в пары.
Куперовская
пара состоит из двух электронов, движущихся вокруг индуцированного ими же
положительного заряда (рис. 12.13). В какой-то мере такая конфигурация
напоминает атом гелия. Однако, в отличие от него, положительный заряд здесь не
является постоянным и строго фиксированным. Кроме того, энергия связи в паре на
много порядков ниже энергии связи в атоме гелия. Для куперовских пар энергия
связи равна 
, тогда как в атоме гелия она 24,6 эВ. Расчет показывает, что
эффективный диаметр куперовской пары 
(длина когерентности). В объеме 
, занимаемом парой, таким образом размещаются центры масс еще
около 
других пар. Поэтому
куперовские пары нельзя рассматривать как пространственно разделенные
квазимолекулы.
|
|
|
Рис. 12.13. Куперовская пара |
Физическая причина появления связанного состояния электронов, которая приведена выше, может служить только в качестве довольно грубой модели реального положения вещей. Доказательство этого состояния было проведено в 1956 году Купером и является квантово-механической задачей, которая здесь рассматриваться не будет. Отметим лишь, что возникающее огромное перекрытие волновых функций электронных пар усиливает квантовый эффект спаривания электронов до его макроскопического проявления. Такие эффекты называют коллективными. Таким образом, в образовании пар участвуют как весь коллектив электронов Ферми, так и атомы решетки.