10.1. Плотность квантовых состояний в разрешенных зонах. Классический 3D электронный газ

Стационарные состояния электрона в идеальном кристалле характеризуются квазиимпульсом р. Запишем принцип неопределенности Гейзенберга для квазиимпульсов p_x, p_y и p_z:

, , .

(10.1)

Перемножим соответственно левые и правые части этих соотношений. Получим

,

(10.2)

где  и . Таким образом,  – это некоторый объем в пространстве квазиимпульсов p_x, p_y, p_z, т. е. внутри зоны Бриллюэна, а DV – некоторый объем внутри полупроводника. Для расчета концентраций носителей заряда (т. е. числа носителей в единице объема полупроводника) выделим внутри кристалла единичный объем DV = 1 см³. Тогда из (10.2) получим Dp ³ h³. Значит, внутри объема Dp в зоне Бриллюэна находится только одно квантовое состояние. Следовательно, h³ – это объем одной «квартирки» в зоне Бриллюэна, в которую по принципу Паули можно поместить два электрона с разными спинами. Поэтому число квантовых состояний, соответствующее элементу объема Dp в зоне Бриллюэна и рассчитанное на единицу объема кристалла, равно Dp/h³, т. е. числу «квартирок» в объеме Dp. При заполнении зоны проводимости электронами заполняются вначале самые нижние уровни. Зона проводимости одномерна относительно энергии (рис. 10.1, а). Зона Бриллюэна – трехмерна (p_x, p_y, p_z) (рис. 10.1, б). В дальнейшем для выполнения интегрирования перейдем от конечных приращений Dp к дифференциалам dp. Внутри тонкого сферического слоя радиусом p и толщиной dp число квантовых состояний будет равно

,

(10.3)

 

 

Рис. 10.1. Диаграмма для расчета плотности квантовых состояний: а -  распределение электронов по энергии в зоне проводимости; б - зона Бриллюэна для расчета плотности состояний

 

Определим число квантовых состояний в зоне проводимости в узком интервале энергий от Е до Е + dЕ, рассчитанное на единицу объема кристалла. Его можно представить в виде N(E)dE, где N(E) есть плотность состояний.

Для существенного ряда кинетических и оптических эффектов в полупроводниках являются важными характеристики плотности квантовых состояний вблизи экстремумов в зависимости E(k), т. е. выше дна зоны проводимости и ниже потолка валентной зоны. 

Вблизи дна зоны проводимости для случая изотропного параболического закона дисперсии энергия электрона

(10.4)

где Е_C – энергия, соответствующая дну зоны проводимости. Для удобства эффективную массу электрона m_n будем писать без звездочки. Из (10.4) получим , т. е.  и . Подставляем в (10.3), имеем

.

(10.5)

Отсюда

.

(10.6)

Аналогичная формула получается и для валентной зоны, но только вместо (Е – Е_C) напишем (Е_V – Е), а вместо m_n – эффективную массу дырки m_p.

Как видно из (10.6), плотность квантовых состояний возрастает по мере удаления от дна зоны проводимости.

Соотношение (10.6) получено из первых принципов и не описывает реальную плотность квантовых состояний в зонах разрешенных энергий вдали от дна зоны проводимости Е_C и потолка валентной зоны Е_V. Для точного расчета зависимости N(E) необходим учет анизотропии кристалла, потенциала взаимодействия атомных остовов, вид перекрывающихся волновых функций.  На рис. 10.2 показана полученная экспериментальным методом плотность электронных состояний в разрешенных зонах кремния с собственной проводимостью. Видно, что наблюдается зависимость роста плотности состояний с ростом энергии вглубь зоны проводимости и валентной зоны. В то же время зависимость N(E) в глубине разрешенных зон носит более сложный характер, чем монотонная корневая зависимость от энергии согласно (10.6).

Рис. 10.2. Плотность электронных состояний в разрешенных зонах кремния с собственной проводимостью