Теория модели реляционных баз данных.

Теоретической основой модели стала теория отношений, основу которой заложили Ч.С. Пирс и Э. Шрёдер. Основоположником теории реляционных баз данных считается сотрудник фирмы IBM доктор A . Codd , опубликовавший в 1970 г. статью «Реляционная модель данных для больших коллективных банков данных». Кодд, будучи математиком по образованию, предложил использовать для обработки данных аппарат теории множеств и предикативной логики для того, чтобы внести в область управления базами данных строгие математические принципы. Предложения Кодда были настолько эффективны для систем баз данных, что за эту модель он был удостоен премии Тьюринга в области теоретических основ вычислительной техники.

Термины реляционной модели и теории множеств:

1. Домен ( Domain ) – некоторое конечное множество. Обозначение: D i , где i – номер домена. Отдельный элемент домена обозначим d i с тем же смыслом i .
2. Полное декартово произведение множеств – набор всевозможных сочетаний из n элементов каждое, где каждый элемент берётся из своего домена. Описание: D 1* D 2 ? … ? D n .
3. Отношение ( relation ) R – подмножество декартова произведения множеств D 1 , D 2 , … D n ( n ?1), необязательно различных. Описание: R I D 1 ? D 2 ? … ? D n .
4. Число n называется степенью отношения ( n = 1 – унарное, n = 2 – бинарное, в общем случае n -арное).
5. Атрибутом ( Attribute ) называют домен, входящий в отношение. Степень отношения определяет количество атрибутов в отношении.
6. Кортежем ( Tuple ) называют декартово произведение элементов множеств d 1 ? d 2 ? … ? d n .
7. Атрибуты, значения которых однозначно идентифицируют кортежи, называются ключевыми. Отношение может содержать несколько ключей. Всегда один из ключей объявляется первичным ( primary key ), его значения не могут обновляться. Все остальные ключи отношения называются возможными (потенциальными) ключами .
8. Схемой отношения S называется перечень имён атрибутов данного отношения с указанием домена, к которому они относятся. Описание: S R = (A 1 , A 2 , …, A n ), A i I D i .
9. Набор именованных схем отношений представляет собой схему базы данных .

В прикладном смысле реляционной считается такая база данных, в которой все данные представлены для пользователя в виде прямоугольных таблиц значений данных, и все операции над базой данных сводятся к манипуляциям с таблицами.

В более строгом изложении реляционная модель состоит из трех частей, описывающих разные аспекты реляционного подхода: структурной части, манипуляционной части и целостной части .

1. В структурной части модели фиксируется, что единственной структурой данных, используемой в реляционных БД, является нормализованное n -арное отношение .
2. В манипуляционной части модели утверждаются два фундаментальных механизма манипулирования реляционными БД: реляционная алгебра и реляционное исчисление .
3. В целостной части реляционной модели данных фиксируются два базовых требования целостности, которые должны поддерживаться в любой реляционной СУБД: требование целостности сущностей и требование целостности по ссылкам.

Свойства реляционных баз данных (вытекают из определения отношения и кортежа как множеств):

1. В отношении нет одинаковых кортежей (все строки таблицы различаются по своему содержанию). Следствие : наличие у каждого кортежа первичного ключа. Для каждого отношения, по крайней мере, полный набор его атрибутов является первичным ключом. Однако, при определении первичного ключа должно соблюдаться требование "минимальности", т.е. в него не должны входить те атрибуты, которые можно отбросить без ущерба для основного свойства первичного ключа - однозначно определять кортеж.
2. Отсутствие упорядоченности кортежей (таблица с переставленными строками остаётся той же самой таблицей).
3. Отсутствие упорядоченности атрибутов (таблица с переставленными столбцами остаётся той же самой таблицей).Все значения атрибутов отношения атомарные (в каждой позиции на пересечении столбца и строки расположено только одно значение).

Последнее свойство является одним из самых спорных, и практически никогда не реализуется. Во всех широко распространённых СУБД используется в качестве значения поля маркер NULL , означающий отсутствие информации и обрабатывающийся специальным образом. Правило целостности объектов говорит о том, что первичный ключ отношения не должен содержать значений NULL .

Реляционная алгебра:

Алгеброй называется множество объектов с заданной на нём совокупностью операций, замкнутых относительного этого множества. Коддом было предложено 8 операций, хотя это множество избыточное, так как некоторые операции могут быть представлены друг через друга.

Теоретико-множественные операции:

1. Объединение отношений. Результатом объединения двух отношений является отношение, включающее все кортежи, входящие хотя бы в одно из отношений-операндов. Обозначение: R 3 = R 1 E R 2 . Операция коммутативна.
2. Пересечение отношений . Результатом пересечения двух отношений является отношение, включающее все кортежи, входящие в оба отношения-операнда. Обозначение: R 3 = R 1 C R 2 . Операция коммутативна.
3. Разность отношений . Отношение, являющееся разностью двух отношений включает все кортежи, входящие в отношение-первый операнд, такие, что ни один из них не входит в отношение, являющееся вторым операндом. Обозначение: R 3 = R 1 \ R 2 . Операция некоммутативна.

Пример на первые три операции :

Предметная область: экзамен по курсу «Методы вычислений», который проводился в сентябре и декабре. Пусть имеются три отношения, имеющие эквивалентные схемы:

R 1 = (Номер зачетки, ФИО, Группа) – список студентов, сдававших экзамен в сентябре;

R 2 = (Номер зачетки, ФИО, Группа) – список студентов, сдававших экзамен в декабре;

R 3 = (Номер зачетки, ФИО, Группа) – список студентов, сдавших экзамен по курсу до января месяца;

Ударим реляционной алгеброй по следующим вопросам:

а) Какие студенты сдавали два раза, но так и не сдали экзамен?

Ответ: R = R 1 C R 2 \ R 3 .

б) Какие студенты сдавали экзамен только один раз, и сдали его?

Ответ: R = ( R 1 \ R 2 C R 3 ) E ( R 2 \ R 1 C R 3 ) .

в) Какие студенты смогли сдать экзамен только со второго раза?

Ответ: R = R 1 C R 2 C R 3 .

г) Какие студенты сдавали экзамен один раз, не сдали, и больше не появлялись?

Ответ: R = ( R 1 \ R 2 ) E ( R 2 \ R 1 ) \ R 3 .

Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

Прямое произведение отношений (расширенное декартово произведение) Результатом прямого произведения двух отношений является отношение, кортежи которого являются конкатенацией (сцеплением) кортежей первого и второго операндов. Обозначение: R 1 A R 2 . Операция коммутативна. Операция используется для получения отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств.

Специальные реляционные операции:

Ограничение отношения (горизонтальная фильтрация) . Результатом ограничения отношения по некоторому условию является отношение, включающее кортежи отношения-операнда, удовлетворяющее этому условию. Обозначение: R [ a ( r )], где a - булевское выражение, составленное из термов сравнения с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ» и скобок. Унарная операция.

На интуитивном уровне операцию ограничения лучше всего представлять как взятие некоторой "горизонтальной" вырезки из таблицы. Пример: выбрать из R 3 студентов из группы 21402. Запишем так: R 4 = R 3 [ Группа = 21403 ] .

Проекция отношения (вертикальная фильтрация) . Результатом проекции отношения R на заданный набор его атрибутов B является отношение, кортежи которого производятся путем взятия соответствующих значений из кортежей отношения-операнда. Обозначение: R [ B ]. Значения, не принадлежащие атрибутам из набора В , удаляются. Унарная операция.

Продолжаем наш пример: R = R 4[Номер зачетки, ФИО].

Соединение отношений (соединение по условию) . При соединении двух отношений R и Q по некоторому условию b образуется результирующее отношение, кортежи которого являются конкатенацией кортежей первого и второго отношений и удовлетворяют этому условию. Обозначение: R [ b ]Q.

По определению результатом операции сравнения является отношение, получаемое путем выполнения операции ограничения по условию b прямого произведения отношений R и Q . Операция соединения называется операцией эквисоединения , если условие соединения имеет вид ( a = b ), где a и b - атрибуты разных операндов соединения. Такое соединения применяется к паре отношений R и Q , обладающих общим атрибутом (т.е. атрибутом с одним и тем же именем и определенным на одном и том же домене). На интуитивном уровне это способ связи таблиц, имеющих одинаковое по смыслу поле.

Деление отношений . Пусть заданы два отношения – R ( a 1 , a 2 , ..., a n , b 1 , b 2 , ..., b m ) и T ( b 1 , b 2 , ..., b m ). Будем считать, что атрибут b i отношения R и атрибут b i отношения T не только обладают одним и тем же именем, но и определены на одном и том же домене. Назовем множество атрибутов { a j } составным атрибутом A , а множество атрибутов { b j } - составным атрибутом B . После этого будем говорить о реляционном делении бинарного отношения R ( A , B ) на унарное отношение T ( B ) . Результатом деления является унарное отношение Q ( A ) , состоящее из таких кортежей v , которые в отношении R фигурировали как кортежи-сцепления < v , w >, в которых множество значений { w } включало множество значений атрибута B в отношении T . Обозначение: R [ A : B ] T .

Предположим, что имеются два отношения: Студенты (Имя, Группа) и Имена (Имя), причем унарное отношение Имена содержит все имена студентов в университете. Тогда после выполнения операции реляционного деления отношения Студенты на отношение Имена будет получено унарное отношение, содержащее номера групп, в которых студенты обладают всеми возможными в университете именами.